例析2019年北京高考數學試題的幾個亮點及啟示

2020-02-21 09:30:46 理科考試研究·高中 2020年1期

尹嶸

摘要:2019年北京高考數學試題突出了對概念本源的考查、對過程性學習的評價、對開放性試題的設計探索,始終堅持“數學知識在生活中的應用”的“國民數學素養”的考查,本文例析上述的幾個亮點,并提出思考和建議,

關鍵詞:概念本源;過程性評價;開放性;數學應用

2019年的高考已經落下帷幕,但對于高考試題的研究卻如火如荼,作為在高考命題中獨樹一幟的北京卷,在此次試題的命制中,不少方面都體現了新課程改革深入進行的探索,體現了數學教育在立德樹人方面的考查,命題進一步加強了對數學學科核心素養的考查,體現了以能力立意、創新導航的數學高考新形態,作為長期在高三一線的數學教師,筆者對試題進行了研究,摘選了2019年北京卷所呈現的幾個亮點進行了評析,供同行商榷。

1突出了對概念的本質和多元表征的考查

《2019年北京卷考試說明》明確指出:“數學學科高考注重考查中學數學的基礎知識、基本技能、基本思想方法,”試題考查了學生對基本概念的本源的理解,及對概念進行多元表征的能力,使學生真正掌握概念,夯實基礎,學生對基礎知識的理解,基本能力的發展,基本態度和價值觀的養成,共同構成了學生終身發展的基礎。

例1(2019年北京卷文科第6題)設函數f(x)=COSx+bsinx(b為常數),則“b=o”是“f(x)為偶函數”的( )。

A,充分而不必要條件

B,必要而不充分條件

c,充分必要條件

D,既不充分也不必要條件

評析函數的奇偶性是函數的基本性質,是完整理解函數概念的必備條件,對于考生來說,對于函數的研究,應該具備對同一概念的多元表征能力,而此題,學生可以從以下幾個方面來解決:

(3)從圖象入手,偶函數的圖象關于y軸對稱,可以通過),=COSX,y=bsinx的圖象的疊加來分析,

此題滿足了不同程度的考生對函數的奇偶性概念的理解的考查,而一題多解則可以加深對概念本源的理解,

例2(2019年北京卷文科第17題)改革開放以來,人們的支付方式發生了巨大轉變,近年來,移動支付已成為主要支付方式之一,為了解某校學生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校所有的1000名學生中隨機抽取了100人,發現樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學生的支付金額分布情況如下:

(1)估計該校學生中上個月A,B兩種支付方式都使用的人數;

(2)從樣本僅使用B的學生中隨機抽取1人,求該學生上個月支付金額大于2000元的概率;

(3)已知上個月樣本學生的支付方式在本月沒有變化,現從樣本僅使用B的學生中隨機抽查1人,發現他本月的支付金額大于2000元,結合(2)的結果,能否認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化?說明理由。

評析一直以來,概率與統計承擔著對數據分析核心素養的考查功能,2013年起,北京卷的概率與統計的第(3)問,比較注重對一些概念本源的考查,這是一個特別好的考查點,如:對平均數和方差的概念本源的考查,深受師生歡迎,而本題第(3)問是對隨機事件概率的概念的考查,考查考生對概念的理解是否到位。

(1)“概率”的大小,是“可能性”的大小,作為隨機事件的概率,我們一般把發生概率小于5%的事件,稱為“小概率事件”,而通常認為在一次試驗中,小概率事件是不應該發生的,所以如果從這個角度人手,則由題意,我們認為樣本僅使用B的學生中本月支付金額大于2000元的人數有變化;但是,從另一個角度來看,可能性小的事件,不代表一定不發生,也有可能發生,這也是概率的意義,所以回答沒有變化也是可以的,這關系到從概念本質和統計意義的不同角度來分析,學生關鍵在于深刻理解了隨機性的本質,理解了概率的概念,就可以從容地回答好這道題;

(2)概率統計貼近生活實際,學生真正理解了概率中的相關概念,才能對生活中的隨機現象,做出合理的科學的解釋,比如:“降水概率”“抽獎獲獎的概率”等問題的解釋,這有利于“學以致用”,有利于弘揚正能量和社會主義核心價值觀。

2注重過程學習。重視過程評價

《普通高中數學課程標準》(2017版)明確指出:數學教育教學要“重視過程評價,聚焦素養,提高質量”,在北京卷的命題中,不少試題“不僅注重結果,更注重過程,注重考生在數學學習過程中,相關的學科核心素養的形成過程的考查,以能力立意,注重學生的終身發展,既要掌握“魚”,更要掌握“漁”。

例3(2019年北京卷理科第8題)數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線,曲線c:x2+y2=1+xy就是其中之一(如圖1),給出下列三個結論:

①曲線c恰好經過6個整點(即橫、縱坐標均為整數的點);

②曲線c上任意一點到原點的距離都不超過2;

③曲線c所圍成的“心形”區域的面積小于3.

其中,所有正確結論的序號是( )。

A,① B,② C,①② D,①②③

評析我們在教學中,常常說:要注重過程性學習,但是,怎樣在高考中體現過程學習的考查呢?應該說,這道題是一道很好地體現了過程性學習能力考查的試題,題目是考查學生對一個未知曲線(多數學生可能聽說過心形曲線,但并不熟悉)的性質的研究。

學生在高中學習過曲線與方程,對于用坐標法研究曲線的性質并不陌生,并且初步掌握了研究的一股方法與步驟,并在此基礎上進一步研究了圓、橢圓、雙曲線和拋物線等常見的圓錐曲線的方程、圖象和性質,那么,有了這些實踐的經驗,考生是否能真正掌握一般的方法,去獨立研究(探索)一個新的曲線的圖象和性質呢?這就考查了學生是否真的掌握了研究的過程與方法。

在解題過程中,學生還可以利用圖形的對稱性(從曲線方程可以得知)來簡化研究:只需研究y軸右方即可,另外,此題展示出的優美的心形曲線,蘊含了數學史和數學美(包括笛卡爾的愛情故事)的滲透,這也是數學的文化價值和美育價值的體現。

3小中見大的開放性試題

2017年的北京高考試題,首次出現了開放性試題,雖然僅僅是一道難度適中的填空題,卻給了我們一種新的感受,也成為了北京卷的一個亮點,在2018年、2019年的高考試題中,北京卷延續了這種出題的風格,如:2018年理科卷的13題,文科卷的11題,再次呈現了開放性試題,在教育考試院的評價中,明確指出:“2018年試題強調開放性和創新性,選擇非常規的情境和思維深刻的問題,讓學生綜合地運用所學的知識,多角度、多層次地思考問題,”作為開放性試題,符合新課改“促進學生全面而有個性的發展”的教育理念,承載了考查學生對基本概念的深刻理解,考查學生數學思維的深刻性和創新性等多種功能,那么,2019年的開放性試題是怎樣呈現的呢?

例4(2019年北京卷文科第13題,理科第12題)已知l,m是平面a外的兩條不同直線,給出下列三個論斷:①l⊥m;②m∥a;③zj_出以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出一個正確的命題:__。

評析2017年、2018年的開放性試題,屬于結論開放性和條件開放性,均為舉例證偽的模式,因此大家容易形成一個固定的思維模式,不利于思維的廣闊性的培養,這道題改變了這兩年的開放型試題的考查模式,類型上屬于綜合開放型,此題的呈現方式在1999年的高考試題中呈現過,此題考查考生對線面位置關系的判定和性質的深刻理解,需要考生自己選擇或構造一定的條件,并得出另一個明確的結論,答案的不唯一性,也兼顧了不同程度的考生的理解水平和動手能力,考查了考生的創新意識。

4從“關注一隅”到“覽其全貌”

每當一個新的知識引入到高中數學學習時,我們的關注點更多的在于這個新的知識點本身,我們關心老師和學生是否都能夠真正理解這個知識,并初步運用這個知識來解決問題,階梯式拾級而上,在經過一段時間的教學實踐,我們對知識的理解達到了一定的成熟度后,才能進一步關注應用,其中,“導數”章節知識的學習和考查,正是經歷了這個過程,進入高考考查之初,“函數與導數”主要考查對導數本身的理解,如:求切線方程、討論函數單調性等等,然后發展到利用導數工具來研究函數性質(其中還包括對研究的函數進行選擇和構造的問題),但基本上一旦函數選定,導數能夠貫穿始終,這些考查方式,符合知識的認知過程,也有利于導數工具的熟練掌握,但過度強化了單一的導數工具的作用,弱化了其他工具在函數性質研究中的作用,在2019年的高考中,“函數與導數”試題的命制,出現了可喜的變化,體現了對多種研究函數方法的考查,而不再是“一個導數,包打天下”,在函數的研究中,有利于全面掌握方法,構建知識網絡,提升綜合能力。

評析這道題的第(1)(2)問比較直白,一般的學生都能夠上手,考查了導數的基本概念和基本方法;亮點在第(3)問,一是考查了學生的觀察能力,注意第(3)問與第(2)問的聯系來輔助解題,在處理絕對值時,可以通過以下幾個角度人手:

(1)絕對值的定義(代數意義),對兩個端點值的大小進行分類討論;

(2)絕對值的幾何意義,從圖象翻折變換的角度進行處理。

如果考生能夠把圖象的翻折情況想清楚,那么處理起來也比較得心應手。

函數試題的重心歸根結底是對函數性質的研究,包括:三要素、圖象、相關的性質等等,此題的好處在于讓考生意識到,導數并不是貫穿始終的唯一的工具,在需要導數的時候,我們用它;在需要用到別的工具的時候,我們用別的工具,而所有的工具,都是在為我們研究這個函數的相關性質來服務的,這就回到了導數學習的根本目的,利用導數工具來輔助研究函數性質,這也給我們發出了一個信息:即讓考生和教師跳出較為狹隘的唯導數觀點,回到較為全面的看待和研究函數的方法上來。

5“數學之眼看世界”,貼近生活實際

讓學生學“有用”的數學,讓他們感受到數學來源于生活和生產實際,也服務于生活與生產,服務于科學、社會、工程技術等諸多領域,正如數學核心素養中,對“數學建模”素養的培養:讓考生學會對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題,用數學模型解決問題。

例6(2019年北京卷理科第14題,文科第14題)李明自主創業,在網上經營一家水果店,銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,價格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒,為增加銷量,李明對這四種水果進行促銷:一次購買水果的總價達到120元,顧客就少付x元,每筆訂單顧客網上支付成功后,李明會得到支付款的80%,

(1)當x=10時,顧客一次購買草莓和西瓜各1盒,需要支付——元;

(2)在促銷活動中,為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價的七折,則x的最大值為—一

評析這道數學應用題有幾個優點:

(1)突出了對數學核心素養的考查,尤其是數學建模和邏輯推理的考查;

(2)突出了對考生的閱讀理解能力的考查,文字通俗易懂,并不生澀,學生通過認真閱讀,能夠理解題意,不會產生對應用題閱讀的先行恐懼感和厭倦感,所以此題雖然有一定的閱讀量,但并沒有在閱讀難度上設坎,此處的度把握得很好;

(3)突出了對考生數學應用意識的考查,是“學以致用”的良好導向:問題貼近生活實際,考生基本上具備相關的生活經驗,特別是第(1)問,只要理解了就能上手,屬于基本的數學素養;第(2)問在數學建模上,有較高的思維價值,但只要抓住最低保障就能解決此題,所以突出了學以致用能力的考查,也引導學生注意觀察生活,培養學以致用的“數學之眼看世界”的國民數學素養!

6結束語

總之,我們從以上幾個亮點的分析,可以看到:2019年的北京高考試題,突出了能力立意,突出了對數學核心素養的考查,是一份大氣的試卷,這份試卷所傳遞的新課改的信息,給我們的日常教學和高考復習以良好的導向作用,給我們以下的一些啟發和思考,值得我們去認真研究和體會:

(1)對基本概念本源的考查,加強了在日常教學中對基本概念教學的重視度,增加了對于概念的引入方式、概念的形成過程和對概念的辨析、對于概念的多元表征的教學的研究;

(2)對于過程性教學,更注重學生的探究和體驗,更重視對于方法的梳理和總結必須改變只重結果,不重過程的“掐頭去尾燒中段”的教學模式,變死學為活學;

(3)開放性試題影響著學生的思維方式,對“一題多解,一題多變”有較好的促進作用,也促進了對一些概念、定理和方法的條件和結論的充要性的研究,促進了思維的嚴謹性和廣闊性的培養;

(4)“考試貼近教學,數學貼近生活”,促進了對數學應用——數學建模的核心素養的培養,數學知識的生活體驗不僅僅呈現在新概念的引入處,數學知識在生活中的應用還將拓展到更大的領域,在日常教學中,老師們應通過課堂教學、試題編制、相關講座、興趣小組、課題調研等多種方式,促進學生“學以致用”的思想的滲透和培養。

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